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如圖已知圓錐SO的底面半徑為4,母線長為8,三角形SAB是圓錐的一個軸截面,D是SA上的一點,且SD=
8
3
3
.動點M從點B出發(fā)沿著圓錐的側面運動到達點D,當其運動路程最短時在側面留下的曲線Γ如圖所示.將軸截面SAB繞著軸SO逆時針旋轉θ(0<θ<π)后,母線SB1與曲線Γ相交于點P.
(Ⅰ)若θ=
π
2
,證明:平面A1B1P⊥平面ABP;
(Ⅱ)若θ=
3
,求二面角B1-AB-P的余弦值.
考點:用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法
專題:空間角
分析:(Ⅰ)由已知條件推導出AB⊥A1B1,SO⊥AB,從而得到AB⊥平面SA1B1,由此能證明平面PAB⊥平面PA1B1
(Ⅱ)以O為原點,AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸,OS所在直線為z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角B1-AB-P的余弦值.
解答: 滿分(14分).
(Ⅰ)證明:∵θ=
π
2
,∴AB⊥A1B1.…(1分)
∵SO⊥平面B1AB,∴SO⊥AB…(2分)
又∵SO∩A1B1=O,∴AB⊥平面SA1B1,…(4分)
又∵AB?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面SA1B1,…(6分)
又∵P∈平面SA1B1
∴平面PAB⊥平面PA1B1.…(7分)
(Ⅱ)解:以O為原點,AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸,
OS所在直線為z軸建立如圖(1)所示的空間直角坐標系,…(8分)
則A(-4,0,0),B(4,0,0),
將圓錐半側面圖展開,如圖(2)所示,
由已知得∠ASB=
π
2
.  …(9分)
又∵θ=
3
,∴∠ASB1=
π
6
.∵SD=
8
3
3
,SB=8
,
∠SDP=
π
3
.∴∠SPD=
π
2
,
∴在Rt△SPD中,SP=SDsin
π
3
=4

∴點P為SB1的中點.…(10分)
如圖(1)∵SO⊥面AB1B,∴面SA1B1⊥面AB1B,
過P作PQ⊥OB1交OB1于Q,則PQ⊥面AB1B,
PQ∥SO∴PQ=
1
2
SO=
1
2
SB2-OB2
=2
3
OQ=
1
2
OB1=2

P(-1,
3
,2
3
)
.…(11分)
AP
=(3,
3
,2
3
)
,∴
AB
=(8,0,0)

設平面ABP的法向量為
n1
=(x,y,z),
n1
AP
=0
n1
AB
=0
,∴
3x+
3
y+2
3
z=0
8x=0
,
取y=-2,得:
n1
=(0,-2,1)…(12分)
取平面B1AB的法向量為
n2
=(0,0,1)…(13分)
∴cos<
n1
,
n2
>=
1
5
=
5
5
,
∴所求的二面角B1-AB-P的余弦值為
5
5
.…(14分)
點評:本小題主要考查直線與平面的位置關系,二面角的大小等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力,考查化歸與轉化思想、數形結合思想,
練習冊系列答案
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x=
1
2
t
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3
2
t
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1
bnbn+1
,數列{Cn}的前n項和為Tn,求證Tn
1
2

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1
a
[(a-1)x-2].
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5
4
]上恒成立,求實數a的取值范圍.

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x2
16
+
y2
7
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