Question

已知空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的點(diǎn)A（1，1，1），平面α過(guò)點(diǎn)A且與直線OA垂直，動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z）是平面α內(nèi)的任一點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的條件；
（2）求平面α與坐標(biāo)平面圍成的幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)平面α過(guò)點(diǎn)A且與直線OA垂直，利用勾股定理即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的條件；
（2）求出平面α與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用棱錐的體積公式求出所求幾何體體積．

解答：解：（1）因?yàn)镺A⊥α，所以O(shè)A⊥AP，
由勾股定理可得：|OA|²+|AP|²=|OP|²，
即3+（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²=x²+y²+z²，化簡(jiǎn)得：x+y+z=3．
（2）設(shè)平面α與x軸、y軸、z軸的點(diǎn)分別為M、N、H，
則M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．
所以|MN|=|NH|=|MH|=3

2

，
所以等邊三角形MNH的面積為：

3

4

×(3

2

)2=

9 3

2

．
又|OA|=

3

，故三棱錐0-MNH的體積為：

1

3

×

9 3

2

×

3

=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間想象能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，空間兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用．