Question

6．如圖所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD與 CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，四棱錐B-ACED的體積為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)為BC的中點．求：
（Ⅰ）CE的長度；
（Ⅱ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求證：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （I）證明AB⊥平面ACED，可得AB為四棱錐B-ACED的高，利用四棱錐B-ACED的體積為$\frac{1}{2}$，即可求出CE的長度；
（Ⅱ）作BE的中點G，連接GF，GD，由三角形中位線定理，及平行四邊形判定定理可得四邊形GFAD為平行四邊形，進而AF∥GD，再由線面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（Ⅱ）由AB=AC，F(xiàn)為BC的中點可得AF⊥BC，結(jié)合GF⊥AF及線面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE進而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE．

解答 （Ⅲ）解：四邊形ACED為梯形，且平面ABC⊥平面ACED．
∵BC²=AC²+AB²，∴AB⊥AC．
∵平面ABC∩平面ACED=AC，
∴AB⊥平面ACED，…2分
即AB為四棱錐B-ACED的高，
∵${V_{B-ACED}}=\frac{1}{3}{S_{ACED}}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（AD+CE）×AC×AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+CE）×1×1=\frac{1}{2}$，
∴CE=2．…4分
（Ⅱ）證明：取BE的中點G，連接GF，GD，則GF為三角形BCE的中位線，
∴GF∥EC∥DA，$GF=\frac{1}{2}CE=DA$，
∴四邊形GFAD為平行四邊形，∴AF∥GD．
又GD?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．…8分
（Ⅲ）證明：∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點，∴AF⊥BC．
又∵GF⊥AF，BC∩GF=F，∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE．
又GD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．…12分

點評 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定．是中等題．