Question

1．在平面直角坐標系xoy中，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知P點的極坐標為$（4\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，曲線C的極坐標方程為ρ²+4$\sqrt{3}$ρsinθ=4．
（1）寫出點P的直角坐標及曲線C的普通方程；
（2）若Q為C上的動點，求PQ中點M到直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+2t\end{array}$（t為參數(shù)）距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先利用關(guān)系式把極坐標轉(zhuǎn)化成直角坐標，進一步把極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程．
（2）先把直角坐標方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程，進一步利用點到直線的距離公式，在利用三角函數(shù)的最值求出結(jié)果．

解答 解：（1）已知P點的極坐標為$（4\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，
所以：$x=ρcosθ=6，\;y=ρsinθ=2\sqrt{3}$，
∴點P的直角坐標為 $（6，2\sqrt{3}）$．
由${ρ^2}+4\sqrt{3}ρsinθ=4$，
得：${x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y=4$，
即${x^2}+{（y+2\sqrt{3}）^2}=16$
∴曲線C的普通方程為：${x^2}+{（y+2\sqrt{3}）^2}=16$．
（2）由 $l：\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+2t\end{array}\right.$，
可得直線l的普通方程為x-y-5=0，
由曲線C的普通方程：${x^2}+{（y+2\sqrt{3}）^2}=16$，
可設(shè)點Q$（4cosθ，4sinθ-2\sqrt{3}）$，
∴則點M坐標為（2cosθ+3，2sinθ）
∴點M到直線l的距離$d=\frac{{|{2cosθ+3-2sinθ-5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$
當(dāng)$cos（θ+\frac{π}{4}）$=-1時，
d取得最大值$2+\sqrt{2}$
∴點M到直線l距離的最大值為$2+\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識要點：極坐標和直角坐標的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，直角坐標方程與參數(shù)方程的互化，點到直線的距離公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值問題的應(yīng)用．