函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
是奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
，
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
分析：先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即f（-x）=-f（x）求得b=0，再根據(jù)f(
1
2
)=
2
5
求得a=1，得到f（x）的解析式；利用增函數(shù)的定義證明f（x）的單調(diào)性．
解答：解：（1）f（0）=0得，b=0，再根據(jù)f(
1
2
)=
2
5
，得a=1，∴f(x)=
x
x2+1

（2）f′(x)=
1-x2
(x2+1)2
，令f′（x）＞0得x∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的性質(zhì)是高考考試的熱點(diǎn)，要會(huì)運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行解題．證明函數(shù)的單調(diào)性的方法為：定義法和導(dǎo)數(shù)法．屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=
ax+2b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(1)=
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）解不等式f(2-t)+f(
t
5
)＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax，(x＜0)
(a-3)x+4a，(x≥0)
滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
為奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax-1x+1
，  其中 a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)滿足f（x）≤1時(shí)的x的集合；
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ax+
a-1x
 (a∈R)，g（x）=lnx．
（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=x0處的切線斜率總相等，求x0的值；
（2）若a＞0，對(duì)任意x＞0，不等式f（x）-g（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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