Question

已知函數(shù)h（x）=lnx+

1

x

（1）若g（x）=h（x+m），求g（x）的極小值；（提示：（y=ln（x+m）的導數(shù)y′=

1

x+m

））
（2）若φ（x）=h（x）-

1

x

+ax2-2x有兩個不同的極值點，其極小值為M，試比較2M與-3的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出g（x）=h（x+m）的導數(shù)，列表得到g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值的關(guān)系，即可得到極小值；
（2）對φ（x）求導數(shù)，φ（x）有兩個不同的極值點，即為2ax²-2x+1=0在（0，+∞）有兩個不同的實根．設(shè)p（x）=2ax²-2x+1=0，運用韋達定理和判別式，即可得到0＜a＜

1

2

．列表得到φ（x）的單調(diào)區(qū)間和極值的關(guān)系，即可得到極小值M，令v（x）=-1+2lnx-2x，運用導數(shù)，得到v（x）在（1，+∞）遞減，運用單調(diào)性即可得到2M＜-3．

解答： 解：（1）∵g（x）=h（x+m）
∴g(x)=ln(x+m)+

1

x+m

(x＞-m)，
g/(x)=

1

x+m

-

1

(x+m)2

=

x+m-1

(x+m)2

，

x	（-m，1-m）	1-m	（1-m，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	遞減	極小值	遞增

則g（x）的極小值=g（1-m）=1；
（2）φ（x）=h（x）-

1

x

+ax2-2x=ax²-2x+lnx（x＞0）
φ′（x）=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

（x＞0）
∵φ（x）有兩個不同的極值點，
∴2ax²-2x+1=0在（0，+∞）有兩個不同的實根．
設(shè)p（x）=2ax²-2x+1=0，則

△＞0 1 a ＞0 1 2a ＞0

即

4-8a＞0 a＞0

，即有0＜a＜

1

2

．
 設(shè)p（x）在（0，+∞）的兩根x₁，x₂且x₁＜x₂

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
φ′（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴φ（x）的極小值為M=φ（x₂）=ax₂²-2x₂+lnx₂
又p（x）=0在（0，+∞）的兩根為x₁，x₂，
∴2ax22-2x2+1=0
∴φ(x)極小值=M=φ(x2)=ax22-2x2+lnx2
=x2-

1

2

-2x2+lnx2=-

1

2

+lnx2-x2
∴2M=-1+2lnx₂-2x₂，
∵x2=

1+ 1-2a

2a

（0＜a＜

1

2

）
∴x₂＞1令v（x）=-1+2lnx-2x，v/(x)=

2

x

-2
∴x＞1時，v′（x）＜0，v（x）在（1，+∞）遞減，
∴x＞1時，v（x）=-1+2lnx-2x＜v（1）=-3，
∴2M＜-3．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)性和求極值，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，極值點的個數(shù)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題．