Question

已知f（x）=x+lg

x

2-x

．
（1）求定義域；
（2）求f（x）+f（2-x）的值；
（3）猜想f（x）的圖象具有怎樣的對稱性，并證明．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義可以求出其定義域，
（2）利用對數(shù)的性質(zhì)，計算即可．
（3）因為當x=1時，y=1，故猜想對稱點為（1，1），然后再根據(jù)對稱的性質(zhì)證明即可．

解答： 解：（1）由題意得，x（2-x）＞0，
解得0＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，2）．
（2）∵f（x）=x+lg

x

2-x

，
∴f（x）+f（2-x）=x+lg

x

2-x

+2-x+lg

2-x

x

=2+lg

x

2-x

•

2-x

x

=2．
（3）關(guān)于點P（1，1）對稱  
證明：設(shè)Q（x，y）為函數(shù)圖象上的任一點，
若Q點關(guān)于點P的對稱點為Q₁（x₁，y₁），
則

x+x1=2 y+y1=2

，即

x1=2-x y1=2-y

，
∴f（x₁）=x₁+lg

x1

2-x1

=2-x+lg

2-x

x

=2-x-lg

x

2-x

=2-y=y₁，
函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（1，1）對稱

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義和對數(shù)的運算，以及圖象的對稱問題，屬于中檔題．