Question

8．設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足對任意x∈R都有f（t）=f（2-t）且x∈（0，1]時，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，a=f（$\frac{2015}{3}$），b=f（$\frac{2016}{5}$），c=f（$\frac{2017}{7}$），用“＜“表示a，b，c的大小關(guān)系是c＜a＜b．

Answer 1

分析 由已知得f（2+t）=f（2-2-t）=f（-t）=f（t），求出函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)f（x）在[0，1]的表達(dá)式求出f（x）的單調(diào)性，從而比較a，b，c的大小即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)y=f（x），滿足對任意t∈R都有f（t）=f（2-t），
∴f（2+t）=f（2-2-t）=f（-t）=f（t），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，
∵x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$≥0在[0，1]恒成立，
故f（x）在[0，1]遞增，
由a=f（$\frac{2015}{3}$）=f（1+$\frac{2}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$），
b=f（$\frac{2016}{5}$）=f（1+$\frac{1}{5}$）=f（-$\frac{4}{5}$）=f（$\frac{4}{5}$），
c=f（$\frac{2017}{7}$）=f（$\frac{1}{7}$），
∴c＜a＜b，
故答案為：c＜a＜b．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．