Question

3．已知命題p：函數(shù)y=2${\;}^{{x}^{2}-2ax}$在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)；命題q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，若p∨q是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真命題的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題的真假關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：命題p為真時(shí)，函數(shù)y=x²-2ax在x∈[1，+∞）為增函數(shù)，故對(duì)稱軸x=-$\frac{-2a}{2}$=a≤1，
從而命題p為假時(shí)，a＞1．…..（2分）
若命題q為真，當(dāng)a-2=0，即a=2時(shí)，-4＜0符合題意．…..（4分）
當(dāng)a≠2時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+4×4（a-2）＜0}\end{array}\right.$…..（6分）
即-2＜a＜2．
故命題q為真時(shí)：-2＜a≤2；q為假時(shí)：a≤-2或a＞2．…．（8分）
若p∨q為假命題，則命題p，q同時(shí)為假命題．
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤-2或a＞2}\end{array}\right.$，所以a＞2．…．（10分）
∴p∨q為真命題時(shí)：a≤2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出命題p，q為真命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．