求證：x＞1時(shí)，2x3＞x2+1．

證明：令f（x）=2x3-x2-1，則f′（x）=6x2-2x=2x（3x-1）．
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0恒成立．
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即當(dāng)x＞1時(shí)，2x3＞x2+1．
分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x3-x2-1，則f′（x）=6x2-2x=2x（3x-1）．由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)遞增，從而有f（x）＞f（1）=0，即證
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性，轉(zhuǎn)化證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想及構(gòu)造函數(shù)的方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
1
2
x2-2x．
（1）設(shè)h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求h（x）的最大值；
（2）證明：當(dāng)0＜b＜a時(shí)，求證：f（a+b）-f（2a）＜
b-a
2a
；
（3）設(shè)k∈Z，當(dāng)x＞1時(shí)，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足定義域在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0成立，
（1）設(shè)x，y∈（0，+∞），求證f(
yx
)=f(y)-f(x)；
（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＜f（x2），試比較x1與x2的大小；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x2-2x+1）＞0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R+上的函數(shù)f（x）滿足下列條件：①對(duì)定義域內(nèi)任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0；③f（2）=-1
（1）求f（8）的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）解不等式：f（2x+2）-f（2x-4）＜-3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x+
a
x
的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[
2
2
，1]上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上是否有最大值和最小值，如果有，求出函數(shù)的最值以及相應(yīng)的x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），對(duì)定義域內(nèi)的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0，f（2）=2，
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（2x-1）＜4．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案