Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，而數(shù)列{b_n}的首項為1，b_n＋1－b_n－2＝0.

(1)求a₁和a₂的值；

(2)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；

(3)設c_n＝a_n·b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n.

Answer 1

解析：(1)因為a_n是S_n與2的等差中項，

所以S_n＝2a_n－2，所以a₁＝S₁＝2a₁－2，解得a₁＝2，a₁＋a₂＝S₂＝2a₂－2，解得a₂＝4；

(2)因為S_n＝2a_n－2，①

所以S_n－1＝2a_n－1－2(n≥2)，②

①－②得：a_n＝2a_n－2a_n－1，即a_n＝2a_n－1(n≥2，n∈N^*)，

因為a₁≠0，所以＝2(n≥2，n∈N^*)，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

因為a₁＝2，所以a_n＝a₁q^n－1＝2×2^n－1＝2ⁿ.

由已知得b_n＋1－b_n＝2，即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，

又b₁＝1，所以b_n＝b₁＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1；

(3)由c_n＝a_n·b_n＝(2n－1)2ⁿ，

所以T_n＝a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝1×2＋3×2²＋5×2³＋…＋(2n－1)2ⁿ，③

所以2T_n＝1×2²＋3×2³＋…＋(2n－3)2ⁿ＋(2n－1)2^n＋1，④

③－④得：－T_n＝1×2＋(2×2²＋2×2³＋…＋2×2ⁿ)－(2n－1)2^n＋1，

即：－T_n＝1×2＋(2³＋2⁴＋…＋2^n＋1)－(2n－1)2^n＋1＝2＋－(2n－1)2^n＋1，

所以T_n＝(2n－3)2^n＋1＋6.