Question

18．如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，O為AB中點(diǎn)，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3
（1）求證：平面PAB⊥面ABCD
（2）求二面角O-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，可證PO⊥底面ABCD，從而可證PO⊥CD，利用線面垂直的判定，可得PO⊥底面ABCD，即可證明結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作CM⊥OD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥PD于點(diǎn)N，連接CN，證明∠MNC是二面角O-PD-C的平面角，從而可求二面角O-PD-C的余弦值．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC=AB=2，AD=3．
∴OC=$\sqrt{5}$，OD=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{5}$，
∵OD²=OC²+DC²=10，
∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，
∴CD⊥PO．
∵PA=PB=AB，O為AB中點(diǎn)，
∴PO⊥AB，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥面ABCD…（6分）
（2）解：過點(diǎn)C作CM⊥OD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥PD于點(diǎn)N，連接CN．
則由于PO⊥平面OCD，PO?平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM?平面OCD，平面POD∩平面OCD=OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，
∵M(jìn)N⊥PD，MN∩CM=M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，
即∠MNC是二面角O-PD-C的平面角．
在Rt△OCD中，CM=$\frac{OC•CD}{\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△PCD中，CN=$\frac{PC•CD}{\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{13}$，
所以MN=$\sqrt{\frac{15}{26}}$，所以二面角O-PD-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定是關(guān)鍵．