【題目】已知橢圓 +y2=1,A,B,C,D為橢圓上四個(gè)動點(diǎn),且AC,BD相交于原點(diǎn)O,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2)滿足 = .
(1)求證: + = ;
(2)kAB+kBC的值是否為定值,若是,請求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則,請說明理由.
【答案】
(1))證明:分別連接AB、BC、CD、AD,∵AC、BD相交于原點(diǎn)O,
根據(jù)橢圓的對稱性可知,AC、BD互相平分,且原點(diǎn)O為它們的中點(diǎn).
則四邊形ABCD為平行四邊形,故 ,即 + =
(2)解:∵ = ,∴4y1y2=x1x2,
若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時(shí)),不滿足4y1y2=x1x2;
直線AB的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.
△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2﹣m2+1)>0,①
.
∵4y1y2=x1x2,又 ,
∴ ,
即 .
整理得:k= .
∵A、B、C、D的位置可以輪換,∴AB、BC的斜率一個(gè)是 ,另一個(gè)就是 .
∴kAB+kBC= ,是定值.
不妨設(shè) ,則 .
設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d,則
= ≤1.
當(dāng)m2=1時(shí)滿足①取等號.
∴S四邊形ABCD=4S△AOB≤4,即四邊形ABCD面積的最大值為4
【解析】(1)由題意可得四邊形ABCD為平行四邊形,故 ,即 + = ;(2)由 = ,得4y1y2=x1x2 , 若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時(shí)),不滿足4y1y2=x1x2;當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m,A(x1 , y1),B(x2 , y2).聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A,B的橫坐標(biāo)的和與積,結(jié)合4y1y2=x1x2
求得k,把三角形AOB的面積化為關(guān)于m的函數(shù),利用基本不等式求其最值,進(jìn)一步得到四邊形ABCD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),且離心率為.
()求橢圓的方程.
()已知雙曲線的離心率是橢圓的離心率的倒數(shù),其頂點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn),求雙曲線的方程.
()設(shè)直線與雙曲線交于, 兩點(diǎn),過的直線與線段有公共點(diǎn),求直線的傾斜角的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微信支付誕生于微信紅包,早期知識作為社交的一部分“發(fā)紅包”而誕生的,在發(fā)紅包之余才發(fā)現(xiàn),原來微信支付不僅可以用來發(fā)紅包,還可以用來支付,現(xiàn)在微信支付被越來越多的人們所接受,現(xiàn)從某市市民中隨機(jī)抽取300為對是否使用微信支付進(jìn)行調(diào)查,得到下列的列聯(lián)表:
年輕人 | 非年輕人 | 總計(jì) | |
經(jīng)常使用微信支付 | 165 | 225 | |
不常使用微信支付 | |||
合計(jì) | 90 | 300 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),我們得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)的結(jié)論是:由__________的把握認(rèn)為“使用微信支付與年齡有關(guān)”。
|
| ||||
|
其中
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【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資類產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資類產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.
(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;
(2)該家庭有20萬元資金,全部用于理財(cái)投資,問:怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記表示,中的最大值,如.已知函數(shù),.
(1)設(shè),求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)試探討是否存在實(shí)數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若, , ,求的極小值;
(3)設(shè), .若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),且滿足,問:函數(shù)在處的切線能否平行于軸?若能,求出該切線方程,若不能,請說明理由.
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【題目】在邊長為4的正方形ABCD的邊上有動點(diǎn)P,動點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA運(yùn)動到A終止,設(shè)P點(diǎn)移動的距離為x,的面積為S.
(1)求函數(shù)S=f(x)的解析式、定義域,畫出函數(shù)圖像;
(2)求函數(shù)S=f(x)的值域.
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【題目】已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)解關(guān)于的不等式,結(jié)果用集合或區(qū)間表示.
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