已知圓A過點(diǎn),且與圓B:關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求圓A的方程;
(2)若HE、HF是圓A的兩條切線,E、F是切點(diǎn),求的最小值。
(3)過平面上一點(diǎn)向圓A和圓B各引一條切線,切點(diǎn)分別為C、D,設(shè),求證:平面上存在一定點(diǎn)M使得Q到M的距離為定值,并求出該定值.
(1) (2) (3)
解析試題分析:(1)求圓的方程即找到圓心和半徑. 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可看出圓B的圓心, 圓A 與圓B 關(guān)于直線對(duì)稱可求出圓A的圓心.再由圓A 通過過點(diǎn)通過兩點(diǎn)距離公式求出半徑可求出圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2) 求的最小值最好用一個(gè)變量來表示,表示長度和夾角都與長度有關(guān),所以設(shè),則由切割弦定理得,在直角三角形中,則由二倍角公式可得,由數(shù)量積公式得,利用均值定理可求出最小值.
(3)切線長用到點(diǎn)距離和半徑表示出來,再根據(jù)得到關(guān)于一個(gè)方程可知軌跡是一個(gè)圓,所以存在一個(gè)定點(diǎn)到的距離為定值.
試題解析:
(1)設(shè)圓A的圓心A(a,b),由題意得:解得,
設(shè)圓A的方程為,將點(diǎn)代入得r=2
∴圓A的方程為: (4分)
(2)設(shè),,
則
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),∴的最小值為 (9分)
(3)由(1)得圓A的方程為:,圓B:,由題設(shè)得,即,
∴化簡得:
∴存在定點(diǎn)M()使得Q到M的距離為定值. (14分)
考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系;圓關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓方程;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知以點(diǎn)C (t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為原點(diǎn).
(1)求證:△AOB的面積為定值;
(2)設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn),求|PB|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓心為C的圓,滿足下列條件:圓心C位于x軸正半軸上,與直線3x-4y+7=0相切,且被軸截得的弦長為,圓C的面積小于13.
(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)M(0,3)的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OADB.是否存在這樣的直線l,使得直線OD與MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C:,其中為實(shí)常數(shù).
(1)若直線l:被圓C截得的弦長為2,求的值;
(2)設(shè)點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|="2" |MO|,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)和圓:.
(Ⅰ)過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為,求直線的方程;
(Ⅱ)若的面積,且是圓內(nèi)部第一、二象限的整點(diǎn)(平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)
的點(diǎn)稱為整點(diǎn)),求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓,直線,。
(1)證明:不論取什么實(shí)數(shù),直線與圓恒交于兩點(diǎn);
(2)求直線被圓截得的弦長最小時(shí)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)與到定點(diǎn)的距離之比為3.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程,并指明曲線C的軌跡;
(Ⅱ)設(shè)直線,若曲線C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,
求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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