Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+cx+d（a、c、d∈R）滿足f（0）=0，f′（1）=0且f′（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a、c、d的值；
（2）若h（x）=x²-bx+-，解不等式f′（x）+h（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用f（0）=0，f′（1）=0得到d的值和a，c的關(guān)系式，然后利用一元二次不等式大于等于0恒成立時(shí)a＞0，△≤0，求出a的值，從而問(wèn)題得解；
（2）結(jié)合（1）和已知，先將不等式化簡(jiǎn)，即x²-（）x+＜0，然后根據(jù)解一元二次不等式的步驟，先令x²-（）x+=0，解得x=b或x=，然后根據(jù)b與的大小關(guān)系分類討論，進(jìn)行解答．
解答：解：（1）∵f（x）=ax³-x²+cx+d，
∴f′（x）=ax²-x+c，
∵f（0）=0，f′（1）=0，
∴d=0，a-+c=0，
即d=0，c=，
從而f′（x）=ax²-x+-a．
∵f′（x）≥0在R上恒成立，
∴a＞0，△=4a（-a）≤0，
即a＞0，（a-）²≤0，
解得a=，c=，d=0，
（2）由（1）知，f′（x）=x²-x+，
∵h(yuǎn)（x）=x²-bx+-，
∴不等式f′（x）+h（x）＜0化為x²-x++x²-bx+-＜0，
即x²-（）x+＜0，
∴（x-）（x-b）＜0，
①若b＞，則所求不等式的解為＜x＜b；
②若b=，則所求不等式的解為空集；
③若b＜，則所求不等式的解為b＜x＜．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，所求不等式的解為；當(dāng)時(shí)，所求不等式的解為∅；當(dāng)時(shí)，所求不等式的解為．
點(diǎn)評(píng)：此題是導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題，同時(shí)考查了一元二次不等式大于等于0恒成立的條件和分類討論的數(shù)學(xué)思想．