Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中點．
（1）求證：BD₁∥平面ACE；
（2）求證：AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，證明OE∥BD₁．通過直線與平面平行的判定定理證明BD₁∥平面ACE．
（2）證明 AC⊥BD．AC⊥D₁D，然后證明AC⊥平面B₁BDD₁

解答：證明：（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
因為E是DD₁的中點，O是BD的中點，
所以O(shè)E∥BD₁．
又因為OE?平面ACE，BD₁?平面ACE，
所以BD₁∥平面ACE．
（2）因為 ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
所以底面ABCD是正方形，所以  AC⊥BD．
又因為D₁D⊥平面ABCD，所以  AC⊥D₁D，D₁D∩BD=D．
所以AC⊥平面B₁BDD₁

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．