Question

已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），坐標(biāo)平面上一點(diǎn)P滿足：△PF₁F₂的周長為6，記點(diǎn)P的軌跡為C₁．拋物線C₂以F₂為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若過F₂的直線l與拋物線C₂交于A，B兩點(diǎn)，問在C₁上且在直線l外是否存在一點(diǎn)M，使直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數(shù)列，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用△PF₁F₂的周長為6，結(jié)合橢圓的定義，可求C₁的方程；利用拋物線C₂以F₂為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程與拋物線方程，利用直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數(shù)列，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意可知，△PF₁F₂的周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|，由于|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4，
由于|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，故點(diǎn)P的軌跡為C₁為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，且a=2，c=1，故b=

3

，
故C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1 (x≠±2)；C₂的方程為：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，kMA+kMB=

y0-y1

x0-x1

+

y0-y2

x0-x2

=2kMF2=

2y0

x0-1

，…（6分）
故

(y0-y1)(x0-my2-1)+(y0-y2)(x0-my1-1)

(x0-my1-1)(x0-my2-1)

=

2y0

x0-1

，
故-(y1+y2)(x0-1)2+my0(y1+y2)(x0-1)+2my1y2(x0-1)=2m2y0y1y2，…（8分）
由

x=my+1 y2=4x

，y²-4my-4=0，
故y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，…（10分）
故m（x₀+1）（x₀-my₀-1）=0，…（11分）
因?yàn)橹本�AB不經(jīng)過點(diǎn)M，故x₀-my₀-1≠0，故m=0或x₀+1=0，…（12分）
當(dāng)m=0時(shí)，C₁上除點(diǎn)(1，±

3

2

)外，均符合題意；…（13分）
當(dāng)m≠0時(shí)，則當(dāng)x₀=-1時(shí)，橢圓上存在兩點(diǎn)M(-1，

3

2

)和M(-1，-

3

2

)都符合條件．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的定義，考查橢圓的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．