Question

已知直角梯形ABCD的下底與等腰三角形ABE的斜邊重合，AB⊥BC且AB=2CD=2BC（如圖1），將此圖形沿AB折疊成直二面角，連結EC、ED，得到四棱錐E-ABCD（如圖2）
（1）線段EA上是否存在點F，使得EC∥平面FBD？若存在，求出

EF

FA

；若不存在，說明理由．
（2）在（1）的條件下，求平面ABE與平面FBD的夾角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）取AB中點O，連結OD、OE，以O為原點，OD，OA，OE為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點F，且

EF

EA

=

1

3

時，有EC∥平面FBD．
（2）平面ABE的法向量

m

=(1，0，0)，平面EBD的法向量

n

=（3，-3，6），由此利用向量法能求出平面ABE與平面FBD的夾角的余弦值．

解答： 解：（1）取AB中點O，連結OD、OE，設AB=2，
∵直角梯形ABCD的下底與等腰三角形ABE的斜邊重合，AB⊥BC且AB=2CD=2BC，
將此圖形沿AB折疊成直二面角，連結EC、ED，得到四棱錐E-ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，OD⊥AB，OB=OA=OE=OD=1，
以O為原點，OD，OA，OE為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則E（0，0，1），A=（0，1，0），B（0，-1，0），D（1，0，0），C（1，-1，0），
∴

EA

=(0，1，-1).

BD

=(1，1，0)，

EC

=(1，-1，-1)，
存在點F，且

EF

EA

=

1

3

時，有EC∥平面FBD．
證明如下：∵

EF

=

1

3

EA

=(0，

1

3

，-

1

3

)，∴F（0，

1

3

，

2

3

），∴

FB

=(0，-

4

3

，-

2

3

)，
設平面FBD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BD =x+y=0 n • FB =- 4 3 y- 2 3 z=0

，
取x=3，得

n

=(3，-3，6)，
∵

n

•

EC

=3+3-6=0，且EC?平面FBD，
∴EC∥平面FBD．
∴存在點F，且

EF

EA

=

1

3

時，有EC∥平面FBD．
（2）∵平面ABE的法向量

m

=(1，0，0)，
平面EBD的法向量

n

=（3，-3，6），
∴cos＜

n

，

m

＞=

3

3 6

=

6

6

，
∴平面ABE與平面FBD的夾角的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查滿足直線與平面平行的點是否存在的判斷與求法，考查平面與平面的夾角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．