Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB，DC∥AB，$AD=AE=DC=\frac{1}{2}AB=4$，△MDC是等邊三角形，且平面MDC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：EC∥平面MAD；
（Ⅱ）求三棱錐B-AMC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出四邊形ABCD是矩形，四邊形AECD是正方形，從而EC∥AD，由此能證明EC∥平面MAD．
（Ⅱ）三棱錐B-AMC的體積等于三棱錐M-ABC的體積，由此能求出三棱錐B-AMC的體積．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD⊥AB，DC∥AB，AE=DC，
所以四邊形ABCD是矩形，
因?yàn)锳D=AE，所以四邊形AECD是正方形，（3分）
所以EC∥AD，
因?yàn)锳D?平面MAD，EC?平面MAD，
所以EC∥平面MAD．（6分）
解：（Ⅱ）由圖知三棱錐B-AMC的體積等于三棱錐M-ABC的體積．
因?yàn)椤鱉DC是等邊三角形，平面MDC⊥平面ABCD，DC=4，
所以三棱錐M-ABC底面ABC上的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$，（8分）
因?yàn)樗倪呅蜛ECD是邊長(zhǎng)為4的正方形，
所以CE⊥AB，CE=4，
又因?yàn)锳B=8，
所以${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×8×4$=16，（10分）
所以三棱錐M-ABC的體積為V=$\frac{1}{3}×16×2\sqrt{3}=\frac{{32\sqrt{3}}}{3}$，
即三棱錐B-AMC的體積為V=$\frac{1}{3}×16×2\sqrt{3}=\frac{{32\sqrt{3}}}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．