Question

14．已知三棱錐A-BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD⊥平面BCD，AD=1．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（2）若E為AB中點(diǎn)，求二面角A-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AD⊥BC，AC⊥BC，推出BC⊥平面ACD，然后證明平面ABC⊥平面ACD．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面ACE的法向量，平面CED的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A-CE-D的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）證明：因?yàn)锳D⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AD⊥BC，
又因?yàn)锳C⊥BC，AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD．（6分）
（2）由已知可得$CD=\sqrt{3}$如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，由已知C（0，0，0），B（0，2，0），$A（\sqrt{3}，0，1）$，$D（\sqrt{3}，0，0）$，$E（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1，\frac{1}{2}）$．有$\overrightarrow{CE}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{CA}=（\sqrt{3}，0，1）$
$\overrightarrow{CD}=（\sqrt{3}，0，0）$，設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
有$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}}\right.，\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+z=0}\\{\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow n=（1，0，-\sqrt{3}）$，
設(shè)平面CED的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，有$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}}\right.，\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x=0}\\{\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$，
令y=1，得$\overrightarrow m=（0，1，-2）$，
二面角A-CE-D的余弦值$cosθ=\frac{|\overrightarrow n•\overrightarrow m|}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以三棱錐為載體，考查平面與平面垂直，求二面角問題等．本題考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．