18．已知函數(shù)f（x）=x（x-m）2在x=2處有極大值．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若關于x的方程f（x）=a有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）令f′（2）=0解出m，再進行驗證x=2是否為極大值點即可；
（2）求出f（x）的單調性和極值，即可得出a的范圍．

解答 解：（1）f'（x）=3x2-4mx+m2，由已知f'（2）=12-8m+m2=0，
∴m=2，或m=6，當m=2時，f'（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴f（x）在$x∈（{\frac{2}{3}，2}）$上單調遞減，在x∈（2，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在x=2處有極小值，不符合題意，舍去．
∴m=6．
（2）由（1）知f（x）=x3-12x2+36x，f′（x）=3x2-24x+36，
且f（x）的另一個極值點為6，
∴f（x）在x∈（-∞，2）上單調遞增，在x∈（2，6）上單調遞減，在x∈（6，+∞）上單調遞增，
當x=2時，f（x）取得極大值f（2）=32，
當x=6時，f（x）取得極小值f（6）=0，
∵方程f（x）=a有三個不同的實根，
∴0＜a＜32．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調性、極值的關系，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該定價按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
單價x（元）88.28.48.68.89
銷量y（元）908483807568
（1）求回歸直線方程$\hat y=bx+a$；
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？
附：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知x＞0，y＞0，求證：$x+y≤\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π）．
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{1-2sinθcosθ}{{{{cos}^2}θ-{{sin}^2}θ}}$的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．已知直線l為曲線y=x2+x-2在點（1，0）處的切線，m為該曲線的另一條切線，且l⊥m
（1）求直線m的方程
 （2）求直線l、m和x軸所圍成的三角形面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．已知-1≤a≤3，2≤b≤4，則2a-b的取值范圍是（　　）
A．[-6，4]B．[0，10]C．[-4，2]D．[-5，1]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．在直角坐標系xOy中，曲線C的方程為：（x-1）2+y2=1以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l1的極坐標方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{3}$=0，直線l2：θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）與曲線C交于O、P兩點，與直線l1的交于點Q，求線段PQ的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）當a＞0時，討論f（x）的單調區(qū)間；
（2）設g（x）=x-$\frac{a}{2}$lnx，當f（x）有兩個極值點為x1，x2，且x1∈（0，e）時，求g（x1）-g（x2）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（{ωx-\frac{π}{6}}）+b$（ω＞0），且函數(shù)圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，當$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時，f（x）的最大值為1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）-3≤m≤g（x）+3在$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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