Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為：（x-1）²+y²=1以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l₁的極坐標(biāo)方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{3}$=0，直線l₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）與曲線C交于O、P兩點，與直線l₁的交于點Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，利用曲線C的直角坐標(biāo)方程能求出曲線C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，得點P的極坐標(biāo)為P（1，$\frac{π}{3}$），由$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，得Q的極坐標(biāo)為Q（-3，$\frac{π}{3}$），由此能求出線段PQ的長．

解答 解：（Ⅰ）因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，
曲線C的方程為：（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0，
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．    …（4分）
（Ⅱ）∵直線l₁的極坐標(biāo)方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{3}$=0，
直線l₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）與曲線C交于O、P兩點，
設(shè)P（ρ₁，θ₁），則由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得${ρ}_{1}=1，{θ}_{1}=\frac{π}{3}$．
即點P的極坐標(biāo)為P（1，$\frac{π}{3}$）．…（6分）
設(shè)Q（ρ₂，θ₂），則有$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得${ρ}_{2}=-3，{θ}_{2}=\frac{π}{3}$，…（9分）
即點Q的極坐標(biāo)為Q（-3，$\frac{π}{3}$），
所以線段PQ的長|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=4．…（10分）

點評 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查線段長的求法，涉及到極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．