Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）若橢圓上的點A（1，

3

2

）到點F₁、F₂的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線過F₂斜率為

1

2

，交橢圓于A、B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線方程為y=

1

2

x-

1

2

，聯(lián)立

y= 1 2 x- 1 2 x2 4 + y2 3 =1

，得4x²-2x-11=0，由此能求出弦長|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點．
橢圓上的點A（1，

3

2

）到點F₁、F₂的距離之和等于4，
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵直線過F₂（1，0）斜率為

1

2

，
∴直線方程為y=

1

2

x-

1

2

，
聯(lián)立

y= 1 2 x- 1 2 x2 4 + y2 3 =1

，得4x²-2x-11=0，
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

1

2

，x₁x₂=-

11

4

，
∴|AB|=

(1+ 1 4 )( 1 4 +4× 11 4 )

=

15

4

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓弦長的求法，是中檔題，解題時要注意弦長公式的合理運用．