Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，且MF₁⊥MF₂，延長(zhǎng)MF₂交雙曲線C于點(diǎn)P，若|MF₁|=|PF₂|，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 設(shè)|MF₁|=t，由雙曲線的定義可得|MF₂|=t-2a，|PF₂|=t，|PF₁|=t+2a，再由勾股定理，求得t=3a，及a，c的關(guān)系，運(yùn)用離心率公式即可得到所求．

解答 解：設(shè)|MF₁|=t，由雙曲線的定義可得|MF₂|=t-2a，
|PF₂|=t，|PF₁|=t+2a，
由MF₁⊥MF₂，可得|MF₁|²+|MP|²=|PF₁|²，
即t²+（2t-2a）²=（t+2a）²，
解得t=3a，
又|MF₁|²+|MF₂|²=|F₂F₁|²，
即為（3a）²+a²=4c²，
即為c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，注意兩次運(yùn)用勾股定理，屬于中檔題．