Question

3．已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程：
（2）l是與圓P，圓M都相切的-條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動圓的半徑為R，由已知動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，求出即可；
（2）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x-2）²+y²=4．分①l的傾斜角為90°．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，確定Q（-4，0），設(shè)l：y=k（x+4），由l與M相切，求出直線l的方程，再求|AB|．

解答 解：（1）由圓M：（x+1）²+y²=1，可知圓心M（-1，0）；圓N：（x-1）²+y²=9，圓心N（1，0），半徑3．
設(shè)動圓的半徑為R，
∵動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，
而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（去掉點（-2，0））
（2）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），
由于|PM|-|PN|=2R-2≤3-1=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0），R=2時，其半徑最大，其方程為（x-2）²+y²=4．
①l的傾斜角為90°，直線l的方程為x=0，|AB|=2$\sqrt{3}$．
②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，
設(shè)l與x軸的交點為Q，則$\frac{|QP|}{|QM|}$=$\frac{R}{{r}_{1}}$，可得Q（-4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），
由l與M相切可得：$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x+4），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得7x²+8x-8=0，∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{8}}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}}$=$\frac{18}{7}$．

點評 本題綜合考查了兩圓的相切關(guān)系、直線與圓相切等基礎(chǔ)知識，需要較強的推理能力和計算能力及其分類討論的思想方法．