Question

在長(zhǎng)、株、潭三市獲國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)的“兩型城市后”后，省政府決定關(guān)閉一批高能耗、高污染的中小型企業(yè)，并制定對(duì)企業(yè)的轉(zhuǎn)崗員工的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)助方案如下：第一年到政府社保部門(mén)領(lǐng)取關(guān)閉前工資的100%，從二年起，以后每年在社保部門(mén)按上一年補(bǔ)助金的

2

3

發(fā)放經(jīng)濟(jì)補(bǔ)助金．同時(shí)政府負(fù)責(zé)對(duì)企業(yè)進(jìn)行調(diào)整改造，轉(zhuǎn)型為轉(zhuǎn)崗人員再就業(yè)的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，經(jīng)濟(jì)實(shí)體第一年為投資階段沒(méi)有利潤(rùn)，第二年每人可獲得利潤(rùn)分紅收入b元，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從第三年起利潤(rùn)分紅收入可以在上一年的基礎(chǔ)上增加50%．如果某員工轉(zhuǎn)崗前的工資收入為a元，轉(zhuǎn)崗后第n年的收入為a_n元．
（1）試用轉(zhuǎn)崗后的年數(shù)n表示該員工的經(jīng)濟(jì)總收入a_n；
（2）若b=

8

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a該員工哪年的總經(jīng)濟(jì)收入最少？并求最少收入；
（3）若b≥

3

8

a，問(wèn)是否一定可以保證該員工轉(zhuǎn)崗一年后的總收入永遠(yuǎn)超過(guò)轉(zhuǎn)崗前的收入？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)便可寫(xiě)出試用轉(zhuǎn)崗后的年數(shù)n表示該員工的經(jīng)濟(jì)總收入a_n的表達(dá)式；
（2）將）b=

8

27

a代入數(shù)列a_n的表達(dá)式中，根據(jù)不等式的性質(zhì)便可求得當(dāng)n=3時(shí)，該員工的收入最少；
（3）根據(jù)題意先寫(xiě)出an的表達(dá)式，然后將b≥

3

8

a代入a_n的表達(dá)式，然后討論數(shù)列a_n的最小值，即可說(shuō)明b≥

3

8

時(shí)，該員工轉(zhuǎn)崗一年后的收入永遠(yuǎn)超過(guò)轉(zhuǎn)崗前的收入．

解答：解（1）依題設(shè)，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=a(

2

3

)n-1+b(1+

1

2

)n-2，
故有an=

a(當(dāng)n=1時(shí)) a( 2 3 )n-1+b( 3 2 )n-2(當(dāng)n≥2時(shí))

（2）由已知b=

8

27

a，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a（

2

3

）^n-1+

8

27

a(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1• 8 27 a( 3 2 )n-2

=

8

9

a
當(dāng)且僅當(dāng)a（

2

3

）^n-1=

8

27

a，即n=3時(shí)，不等式成立
，因此，該員工第三年的收入最少，最少收入為

8

9

a元．

（3）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a（

2

3

）^n-1+b（

3

2

）^n-2≥a(

2

3

)n-1+

3

8

a(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1• 3 8 a( 3 2 )n-2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

b= 3 8 a ( 2 3 )n-1= 3 8 ( 3 2 )n-2

，即

b= 3 8 a a=1+log( 2 3 )( 1 2 )

時(shí)，等號(hào)才能同時(shí)成立；
而1+log_

2

3

1

2

＞1+log_

2

3

2

3

=2，且（1+log_

2

3

1

2

）∈N*，故等號(hào)不能同時(shí)成立，
但當(dāng)n=2時(shí)，a₂=

2

3

a+

3

8

a=

25

24

a＞a；
綜合上所述，當(dāng)b≥

3

8

時(shí)，一定可以保證該員工轉(zhuǎn)崗一年后的收入永遠(yuǎn)超過(guò)轉(zhuǎn)崗前的收入．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．