分析 將方程變形得sin$\frac{πx}{2}$=$\frac{x}{4}+\frac{1}{4x}$(x≠0),分別作出y=sin$\frac{πx}{2}$和y=$\frac{1}{4}$(x+$\frac{1}{x}$)的函數(shù)圖象,根據(jù)交點個數(shù)進(jìn)行判斷.
解答 解:∵${x^2}-4xsin\frac{πx}{2}+1=0$,∴sin$\frac{πx}{2}$=$\frac{x}{4}+\frac{1}{4x}$(x≠0),
令f(x)=$\frac{x}{4}+\frac{1}{4x}$=$\frac{1}{4}$(x+$\frac{1}{x}$),
則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
做出y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f(x)在(0,+∞)上函數(shù)圖象如圖所示:
由圖象可知y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f(x)在(0,+∞)上有2個交點,
又y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f(x)都是奇函數(shù),
∴y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f(x)在(-∞,0)上有2個交點,
∴方程${x^2}-4xsin\frac{πx}{2}+1=0$有4個解,
故答案為:4.
點評 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系,屬于中檔題.
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A. | (-∞,-3)∪(2,+∞) | B. | (-∞,-3) | C. | (-3,2) | D. | (2,+∞) |
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