Question

4．方程x²-cosx=0的解可視為函數(shù)y=cosx的圖象與函數(shù)y=x²的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則方程${x^2}-4xsin\frac{πx}{2}+1=0$實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為4．

Answer 1

分析 將方程變形得sin$\frac{πx}{2}$=$\frac{x}{4}+\frac{1}{4x}$（x≠0），分別作出y=sin$\frac{πx}{2}$和y=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{1}{x}$）的函數(shù)圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．

解答 解：∵${x^2}-4xsin\frac{πx}{2}+1=0$，∴sin$\frac{πx}{2}$=$\frac{x}{4}+\frac{1}{4x}$（x≠0），
令f（x）=$\frac{x}{4}+\frac{1}{4x}$=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{1}{x}$），
則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
做出y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f（x）在（0，+∞）上函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f（x）在（0，+∞）上有2個(gè)交點(diǎn)，
又y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f（x）都是奇函數(shù)，
∴y=sin$\frac{πx}{2}$和y=f（x）在（-∞，0）上有2個(gè)交點(diǎn)，
∴方程${x^2}-4xsin\frac{πx}{2}+1=0$有4個(gè)解，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．