Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N^*），則$\sum_{n=1}^{2016}$$\frac{1}{{a}_{n}+1}$的整數(shù)部分是3．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，即可得到結(jié)論．

解答 解：由a_n+1=a_n²+a_n，
得a_n+1=a_n（a_n+1），
取倒數(shù)得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
即m=$\sum_{n=1}^{2016}$$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}+1}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=4-$\frac{1}{{a}_{2017}}$，
∵a_n+1=a_n²+a_n＞a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{{a}_{n}}$，
且a₅＞1，a₂₀₁₇＞1．
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2017}}$＜1，
則4＞4-$\frac{1}{{a}_{2017}}$＞3，
即3＜m＜4．
則所求整數(shù)部分為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用．根據(jù)遞推公式求出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．