Question

由曲線y=x²和直線y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所圍城的圖形的面積的最小值為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  5

• C、

  1

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

考點：定積分

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：由題意將曲線y=x²和直線y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所圍成的圖形的面積用定積分表示出來，再利用定積分的運算規(guī)則將面積表示為t的函數(shù)，進行判斷得出面積的最小值．

解答： 解：設曲線y=x²和直線y=t²交點坐標是（t，t²），
故曲線y=x²和直線y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所圍成的面積是：

∫

t 0

（t²-x²）dx+

∫

1 t

（-t²+x²）dx
=（t²x-

1

3

x³）

|

t 0

+（-t²x+

1

3

x³）

|

1 t

=

4

3

t3-t2+

1

3

．
令p=

4

3

t3-t2+

1

3

，
則p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=

4

3

t3-t2+

1

3

在（0，1）先減后增，在t=

1

2

時取到最小值，
故面積的最小值是

4

3

×(

1

2

)3-(

1

2

)2+

1

3

=

1

4

．
故選：D．

點評：本題考查求定積分，解題的關鍵是將所求面積用積分表示出來，利用積分的定義得到關于變量t的表達式，再研究其單調(diào)性求出最值，本題運算量較大涉及到的考點較多，綜合性強，運算量大，極易因運算、變形出錯．是中檔題．