Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，則下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A、f（x）不是單調(diào)函數(shù)
• B、f（x）不是周期函數(shù)
• C、f（x）是偶函數(shù)
• D、f（x）的值域為{0，1}

Answer 1

考點：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知的函數(shù)f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)周期性的定義及函數(shù)值的確定方法，分別判斷四個答案的真假，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，
D（2）=1，D（

2

）=0，D（1）=1，顯然函數(shù)D（x）不是單調(diào)函數(shù)，故A正確；
對于任意的有理數(shù)T，當(dāng)x為有理數(shù)時，x+T必為有理數(shù)，此時f（x+T）=f（x）=1；
當(dāng)x為無理數(shù)時，x+T必為無理數(shù)，此時f（x+T）=f（x）=0；
即函數(shù)是周期為任意非0有理數(shù)的周期函數(shù)，故B中f（x）不是周期函數(shù)錯誤；
當(dāng)x為有理數(shù)時，-x必為有理數(shù)，此時f（-x）=f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，-x必為無理數(shù)，此時f（-x）=f（x）=0．故C中f（x）是偶函數(shù)正確；
函數(shù)值域為{0，1}，故D顯然正確；
故選：B

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的值及函數(shù)的性質(zhì)，正確理解新定義函數(shù)f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

是解答的關(guān)鍵．