Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y），PM⊥y軸，垂足為M，點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；
（2）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0），A、B為W上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足QA⊥QB，點(diǎn)Q到直線AB的距離為d，求d的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)條件列方程，化簡(jiǎn)．
（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求出Q點(diǎn)到直線AB的距離，當(dāng)AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程，代入雙曲線方程，使用根與系數(shù)的關(guān)系及題中條件，先求出AB斜率，再求出Q點(diǎn)到直線AB的距離的表達(dá)式，判斷距離的最大值．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由已知M（0，y），N（x，-y）  （2分）
則，即（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如圖，由QA⊥QB可得

（5分）

①若直線AB⊥x軸，則x₁=x₂，
此時(shí)，
則x₁²-8x₁+12=0，解之得，x₁=6或x₁=2
但是若x₁=2，則直線AB過(guò)Q點(diǎn)，不可能有QA⊥QB
所以x₁=6，此時(shí)Q點(diǎn)到直線AB的距離為4（7分）
②若直線AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，則（2k²-1）x²+4kmx+2m²+4=0
則，即
又，（9分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=
∴
=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂
=
則m²+8km+12k²=0，可得m=-6k或m=-2k
若m=-2k，則直線AB的方程為y=k（x-2），此直線過(guò)點(diǎn)Q，這與QA⊥QB矛盾，舍
若m=-6k，則直線AB的方程為y=kx-6k，即kx-y-6k=0（12分）
此時(shí)若k=0，則直線AB的方程為y=0，顯然與QA⊥QB矛盾，故k≠0
∴（13分）
由①②可得，d_max=4（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法及直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．