Question

13．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（1，4]．

Answer 1

分析 f（x）是分段函數(shù)，在每一區(qū)間內(nèi)求f（x）的取值范圍，再求它們的并集得出值域；由f（x）的值域為R，得出a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$，
當(dāng)8＞a＞1時，f（x）=a^x，在（1，+∞）上為增函數(shù)，f（x）∈（a，+∞）；
當(dāng)x≤1時，f（x）=（4-$\frac{a}{2}$）x+2，在（-∞，1]上的值域，f（x）∈（-∞，6-$\frac{a}{2}$]；
若f（x）的值域為R，則（-∞，6$-\frac{a}{2}$]∪（a，+∞）=R，
則6-$\frac{a}{2}$≥a，
即1＜a≤4；
當(dāng)a∈（0，1）時，指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，一次函數(shù)是增函數(shù)，值域不可能為R．
當(dāng)a≥8時，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，一次函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)的值域不可能為R．
則實數(shù)a的取值范圍是（1，4]．
故答案為：（1，4]．

點評 本題考查了分段函數(shù)的值域問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，分段函數(shù)的值域是在區(qū)間內(nèi)求出函數(shù)的取值范圍，再求它們的并集即得出值域．