Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x+1|，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）≤x²-x的解集；
（Ⅱ）若正實數(shù)m，n滿足2m+n=1，函數(shù)$f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值，問題轉(zhuǎn)化為|a+1|≤8，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=|x-1|-|x+1|，
f（x）≤x²-x即|x-1|-|x+1|≤x²-x，
x≥1時，x-1-x-1≤x²-x，即x²-x+2≥0，
解得：x≥2或x≤-1，（舍），
-1＜x＜1時，1-x-x-1≤x²-x，即x²+x≥0，解得：x≥0或x≤-1（舍），
x≤-1時，1-x+x+1≤x²-x，即x²-x-2≥0，
解得：x≥2（舍）或x≤-1，
綜上，不等式的解集是（-∞，-1]∪[0，+∞）；
（Ⅱ）若正實數(shù)m，n滿足2m+n=1，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
當且僅當n=2m即n=$\frac{1}{2}$，m=$\frac{1}{4}$時“=”成立，
函數(shù)$f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$恒成立，即|x-a|-|x+1|≤|x-a-x-1|=|a+1|≤8，
解得：-9≤a≤7．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．