Question

19．已知點(diǎn)Q（-$\frac{6}{5}$，$\frac{13}{5}$）關(guān)于直線y=2x+1的對(duì)稱點(diǎn)是P，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過(guò)定點(diǎn)，如果經(jīng)過(guò)請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得P（2，1），由橢圓的離心率可得a²=4b²，將P（2，1）代入橢圓方程，即可求解橢圓的方程．
（Ⅱ）當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線過(guò)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上，當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式大于0，結(jié)合韋達(dá)定理，求解M，N的坐標(biāo)，利用向量關(guān)系，代入化簡(jiǎn)即可推出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)Q（-$\frac{6}{5}$，$\frac{13}{5}$）關(guān)于直線y=2x+1的對(duì)稱點(diǎn)是P（m，n），可得$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{n-\frac{13}{5}}{m+\frac{6}{5}}=-1}\\{\frac{n+\frac{13}{5}}{2}=2×\frac{m-\frac{6}{5}}{2}+1}\end{array}\right.$，解得m=2，n=1
得P（2，1），由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
將P（2，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則$\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得：b²=2，則a²=8，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；    …6分
（Ⅱ）當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線過(guò)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上，
當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，（1+4k²）x²+8ktx+4t²-8=0，•
則△=16（8k²-t²+2）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$，
又直線PA的方程為y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），即y-1=$\frac{k{x}_{1}+t-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$），同理可知：N（0，$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$），
由$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{NO}$，則$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$=0，
化簡(jiǎn)整理得：（2-4k）x₁x₂-（2-4k+2t）（x₁+x₂）+8t=0，
則（2-4k）×$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$-（2-4k+2t）（-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$）+8t=0，
化簡(jiǎn)整理得：（2t+4）k+（t²+t-2）=0，•
當(dāng)且僅當(dāng)t=-2時(shí)，對(duì)任意的k都成立，直線AB過(guò)定點(diǎn)Q（0，-2）…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．