【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線之間的陰影部分即為,區(qū)域中動點(diǎn)到的距離之積為1.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)動直線穿過區(qū)域,分別交直線于兩點(diǎn),若直線與軌跡有且只有一個公共點(diǎn),求證: 的面積恒為定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由點(diǎn)到直線距離公式直接把已知表示出來,并化簡可得方程;
(Ⅱ)直線與軌跡有且只有一個公共點(diǎn),即直線與軌跡相切,因此可求出當(dāng)與垂直(即斜率不存在)時, 面積,當(dāng)斜率存在時,可設(shè)其方程為,與雙曲線方程聯(lián)立方程組,由可得,再設(shè)出,由直線相交可求得(用表示),計(jì)算面積可得結(jié)論.
試題解析:
(Ⅰ)由題意得, .
因?yàn)辄c(diǎn)在區(qū)域內(nèi),所以與同號,得,
即點(diǎn)的軌跡的方程為.
(Ⅱ)設(shè)直線與軸相交于點(diǎn),當(dāng)直線的斜率不存在時, , ,得.
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,顯然,則,
把直線的方程與聯(lián)立得,
由直線與軌跡有且只有一個公共點(diǎn),知,
得,得或.
設(shè), ,由得,同理,得.
所以 .
綜上, 的面積恒為定值2.
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【題目】已知橢圓的四個頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的下頂點(diǎn)為,如圖所示,點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn),過橢圓的右焦點(diǎn)的直線垂直于,且與交于兩點(diǎn),與交于點(diǎn),四邊形和的面積分別為.求的最大值.
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【題目】【2018百校聯(lián)盟TOP20一月聯(lián)考】函數(shù)在處的切線斜率為.
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(II)設(shè), ,對任意的,存在,使得成立,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱柱中, 平面,底面為梯形, , , ,點(diǎn), 分別為, 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使與平面所成角的正弦值是,若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù), ,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性.
(Ⅱ)試判斷曲線與是否存在公共點(diǎn)并且在公共點(diǎn)處有公切線.若存在,求出公切線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】為了凈化空氣,某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出,在一定范圍內(nèi),每噴灑1個單位的凈化劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y= 若多次噴灑,則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知,當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時,它才能起到凈化空氣的作用.
(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑,則凈化時間可達(dá)幾天?
(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑,6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化,試求a的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): 取1.4).
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【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),證明A1、C1、F、E四點(diǎn)共面,并求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小.
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【題目】已知點(diǎn), , 是直線上任意一點(diǎn),以為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn),記橢圓離心率關(guān)于的函數(shù)為,那么下列結(jié)論正確的是
A. 與一一對應(yīng) B. 函數(shù)是增函數(shù)
C. 函數(shù)無最小值,有最大值 D. 函數(shù)有最小值,無最大值
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