Question

【題目】如圖，在四棱柱中， 平面,底面為梯形， , ， ，點， 分別為， 的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使與平面所成角的正弦值是，若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接，證明四邊形是平行四邊形. 得到，即可證明平面

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點，分別以直線， 為軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面的法向量和面的法向量，即可求出二面角的余弦值；

（Ⅲ）存設(shè)點，所以

設(shè)與平面所成角為，所以

所以，即可求出的長

試題解析：（Ⅰ）連接，因為點， 分別為， 的中點，

所以， .

所以四邊形是平行四邊形.

所以

因為平面， 平面，

所以平面

（Ⅱ）因為平面, ，

所以平面.

所以以為坐標(biāo)原點，分別以直線， 為軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則軸在平面內(nèi)．

所以， ， ， ，

所以， .

設(shè)平面的法向量為，所以即

所以.

設(shè)平面的法向量為，

所以

又二面角為銳角，

所以二面角的余弦值是

（Ⅲ）存在. 設(shè)點，所以

設(shè)與平面所成角為，所以

所以，解得

所以