Question

給出下列四個命題：
①f（x）=x³-3x²是增函數(shù)，無極值．
②f（x）=x³-3x²在（-∞，2）上沒有最大值
③由曲線y=x，y=x²所圍成圖形的面積是

1

6

 
④函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x-y=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2）
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：①求導數(shù)f′（x），利用導數(shù)判定f（x）的增減性和極值；
②結(jié)合①，利用導數(shù)判定f（x）的增減性、求極（最）值；
③利用定積分求出曲線y=x，y=x²所圍成圖形的面積S； 
④利用導數(shù)求出f（x）的切線的斜率=2時a的取值范圍．

解答： 解：對于①，∵f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
∴x=0時f（x）有極大值，x=2時f（x）有極小值，∴①錯誤．
對于②，由①知，當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴x=0時f（x）有極大值f（0），也是最大值，∴②錯誤．
對于③，∵

y=x y=x2

，解得

x=0 y=0

，或

x=1 y=1

；
∴由曲線y=x，y=x²所圍成圖形的面積
S=

∫

1 0

（x-x²）dx=（

1

2

x²-

1

3

x³）

|

1 0

=

1

2

-

1

3

=

1

6

，∴③正確． 
對于④，∵f′（x）=

1

x

+a=2（x＞0），∴a=2-

1

x

＜0；
∴f（x）=lnx+ax存在與2x-y=0平行的切線時，a的取值范圍是（-∞，2），∴④正確．
綜上，以上正確的命題為③④．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值和最值的問題，也考查了利用導數(shù)求函數(shù)的切線斜率問題，利用定積分求曲線所圍成的面積等問題，是綜合題．