Question

3．已知橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），A，B是C上的動點，且滿足OA⊥OB（O為坐標原點），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點D的極坐標為（-4，$\frac{π}{3}$）．
（1）求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程；
（2）利用橢圓C的極坐標方程證明$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值，并求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)點DA、的直角坐標，求出線段AD的中點M（-1+cosα，-$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}sinα$），消去參數(shù)得M的軌跡E的普通方程
（2）橢圓C的極坐標方程為：ρ²+3ρ²sin²θ=4⇒${ρ}^{2}=\frac{4}{1+{3sin}^{2}θ}$；設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1+3si{n}^{2}θ}{4}+\frac{1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}$=$\frac{5}{4}$△AOB面積s=$\frac{1}{2}{ρ}_{1}{ρ}_{2}=\frac{2}{\sqrt{（1+3si{n}^{2}θ）（1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{4+\frac{9}{4}si{n}^{2}2θ}}$

解答 解：（1），點D的直角坐標為（-2，-2$\sqrt{3}$），由題意設(shè)A（2cosα，sinα），
∴線段AD的中點M（-1+cosα，-$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}sinα$），∴點D的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=-\sqrt{3}+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$，消去參數(shù)
M的軌跡E的普通方程：（x+1）²+4（y+$\sqrt{3}$）²=1；
（2）橢圓C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，化為極坐標方程為：ρ²+3ρ²sin²θ=4⇒${ρ}^{2}=\frac{4}{1+{3sin}^{2}θ}$；
∵OA⊥OB，∴設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）
即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1+3si{n}^{2}θ}{4}+\frac{1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}$=$\frac{5}{4}$（定值）
△AOB面積s=$\frac{1}{2}{ρ}_{1}{ρ}_{2}=\frac{2}{\sqrt{（1+3si{n}^{2}θ）（1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{4+\frac{9}{4}si{n}^{2}2θ}}$≤1，
∴△AOB面積的最大值為1．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、極坐標的應(yīng)用、三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題