【題目】已知函數(shù)。

(1)若f(x)的圖象與g(x)的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上,且在該點處兩條曲線的切線互相垂直,求b和c的值。

(2)若a=c=1,b=0,試比較f(x)與g(x)的大小,并說明理由;

(3)若b=c=0,證明:對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)m,使得當x時,

恒有f(x)>g(x)成立。

【答案】(1)(2)時,;當時, ;當時, (3)詳見解析

【解析】

試題分析:(1)由題意得,,即(2)構造函數(shù).當,,,

時,,則,當時, 取得極小值, 且極小值為,故上單調(diào)遞增, ,(3)構造函數(shù),則,故上有最小值,,,存在,使時,恒有;,存在,使時,恒有;存在,使時,恒有

試題解析:(1)解: ,, , 2

題意:,所; 4

(2)解: , 5

,,,

,,,

,,則.

,則,

時, 單調(diào)遞減;當時, 單調(diào)遞增.

所以當時, 取得極小值, 且極小值為

成立,上單調(diào)遞增,又,

因此,當時, ,即. 9

,當時,;當時, ;當時, 10

(3)

證法一:,由(2)知,當時, .即,

所以,,取,即有,恒有.

,,等價于

,則.當時,內(nèi)單調(diào)遞增.

,則,所以內(nèi)單調(diào)遞增.

即存在,當時,恒有. 15

綜上,對任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使得當,恒有. 16

證法二:設,則,

時,單調(diào)減,當時,,單調(diào)增,

上有最小值,, 12

,則上恒成立,

即當時,存在,使時,恒有;

,存在,使時,恒有;

,同證明一的, 15

上可得,對任意給定的正數(shù),總存在,當時,恒有. 16

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