Question

5．在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對于任意給定的a，b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）對任意a∈R，a*0=a；
（3）對任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
關(guān)于函數(shù)f（x）=（e^x）*$\frac{1}{e^x}$的性質(zhì)，有如下命題：
（1）f（x）為偶函數(shù)；
（2）f（x）的x=0處取極小值；
（3）f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0]；
（4）方程f（x）=4有唯一實根．
其中正確的命題的序號是（1）（2）．

Answer 1

分析 依題意，可求得函數(shù)f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，利用函數(shù)的奇偶性的定義可判斷（1）正確；利用f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，通過對x＞0與x＜0的情況的討論，可判斷（2）正確，（3）錯誤；方程f（x）=4?1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=4?e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=3，解得：e^x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，x=ln$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，可判斷（4）錯誤．

解答 解：依題意，f（x）=（e^x）*$\frac{1}{e^x}$=（e^x*$\frac{1}{e^x}$）*0=0*（e^x•e^-x）+（e^x*0）+（0*$\frac{1}{{e}^{x}}$）-2×0=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
對于（1），∵f（-x）=1+e^-x+e^x=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，故（1）正確；
對于（2），∵f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在區(qū)間（-∞，0）單上調(diào)遞減，
∴f（x）的x=0處取極小值，故（2）正確；
對于（3），由（2）知，函數(shù)f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，0）單調(diào)遞減，故（3）錯誤；
對于（4），方程f（x）=4?1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=4?e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=3，解得：e^x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，x=ln$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，即方程f（x）=4有2個相異的實根，故（4）錯誤．
綜上所述，正確的命題的序號是：（1）（2）．
故答案為：（1）（2）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查新定義的理解與應(yīng)用，求得函數(shù)f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$是關(guān)鍵，也是難點，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值及方程的根的個數(shù)判斷，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．