Question

有三種卡片分別寫有數(shù)字1，10和100．設(shè)m為正整數(shù)，從上述三種卡片中選取若干張，使得這些卡片上的數(shù)字之和為m．考慮不同的選法種數(shù)，例如當(dāng)m=11時(shí)，有如下兩種選法：“一張卡片寫有1，另一張卡片寫有10”或“11張寫有1的卡片”，則選法種數(shù)為2．
（1）若m=100，直接寫出選法種數(shù)；
（2）設(shè)n為正整數(shù)，記所選卡片的數(shù)字和為100n的選法種數(shù)為a_n．當(dāng)n≥2時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分類討論，只取數(shù)字1或10或100時(shí)；取1和10，由此可得結(jié)論；
（2）考慮當(dāng)數(shù)字和為200時(shí)，選法種數(shù)，可得數(shù)字總和為100n對應(yīng)的選法種數(shù)為a_n，數(shù)字總和為100（n+1）對應(yīng)的選法種數(shù)為a_n+1，滿足a_n=10n+1+a_n-1，從而可得數(shù)列通項(xiàng)，

解答： 解：（1）分類討論，只取數(shù)字1或10或100時(shí)，共3種；取1和10，可分為1個(gè)10，2個(gè)10，…9個(gè)10，共9種
∴相應(yīng)的選法種數(shù)為3+9=12種；                       …（3分）
（2）若至少選一張寫有100的卡片時(shí)，則除去1張寫有100的卡片，其余數(shù)字之和為100（n-1），
有a_n-1種選法；若不選含有100的卡片，則有10n+1種選法．
所以，a_n=10n+1+a_n-1，…（8分）
從而，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+a₁
=10

(n+2)(n-1)

2

+n-1+a₁
=5n²+6n+1
所以，{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=5n²+6n+1．                                  …（10分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．