Question

一個(gè)計(jì)算裝置有兩個(gè)數(shù)據(jù)入口Ⅰ、Ⅱ和一個(gè)運(yùn)算結(jié)果輸出口Ⅲ，當(dāng)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)m、n時(shí)，
輸出結(jié)果記為f（m，n），且計(jì)算裝置運(yùn)算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則f（1，1）=1；
②若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來(lái)增大3；
③若Ⅱ輸入固定的正整數(shù)n，Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來(lái)值的3倍．
則f（m，1）=

 

，滿足f（m，n）=2010的平面上的點(diǎn)（m，n）的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)m、n時(shí)，輸出結(jié)果記為f（m，n）和③，令n=1時(shí)，有f（m，1）=3f（m-1，1），可得數(shù)列{f（m，1）}是等比數(shù)列，因此可求得其通項(xiàng)公式f（m，1）=；由②可得f（m，n）=f（m，n-1）+3，可得數(shù)列{f（m，n）}是以3^m-1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，因此可求f（m，n）的通項(xiàng)公式，可解足f（m，n）=2010的平面上的點(diǎn)（m，n）的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）f（m，1）=3f（m-1，1）=3²f（m-2，1）=…═3^m-1f（1，1）=3^m-1
（2）f（m，n）=3^m-1+3（n-1）=2010?3^m-2+n-1=670=3²²³+1①
其中，

m-2≥0 m-2≤223

∴

m≥2 m≤225

∴2≤m≤225，整數(shù)m的值有224種取法
為確定點(diǎn)（m，n），由①知，確定了m的值，則有唯一的整數(shù)n符合題意
故點(diǎn)（m，n）的個(gè)數(shù)為C₂₂₄¹=224個(gè)點(diǎn)．
故答案為3^m-1，224．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生的閱讀能力，和抽象概括能力，難點(diǎn)從題意構(gòu)造等差、等比數(shù)列，信息量較大，題目立意新，是好題，屬中檔題．