Question

6．有以下命題：
①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1沒(méi)有極值點(diǎn)，則-2＜a＜4；
②集合M={1，2，zi}，i為虛數(shù)單位，N={3，4}，M∩N={4}，則復(fù)數(shù)z=-4i；
③若函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則m＜$\frac{1}{e}$．
其中正確的是②．

Answer 1

分析 ①求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解判斷．
②根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行判斷即可．
③利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值．

解答 解：①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1，
則f′（x）=3x²+2（a-1）x+3，
若f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)，則△≤0，
即4（a-1）²-36≤0，
即（a-1）²≤9，
得-3≤a-1≤3，則-2≤a≤4，故①錯(cuò)誤，
②集合M={1，2，zi}，i為虛數(shù)單位，N={3，4}，M∩N={4}，
則zi=4，則z=$\frac{4}{i}$=-4i；故②正確，
③若函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m=0，即$\frac{lnx}{x}$=m有兩個(gè)根，
設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$則g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得1-lnx＞0得0＜x＜e，
g′（x）＜0得1-lnx＜0得x＞e，
即當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值g（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，g（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0，
則若$\frac{lnx}{x}$=m有兩個(gè)根，
則0＜m＜$\frac{1}{e}$．故③錯(cuò)誤，
故答案為：②

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．