Question

如圖幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G為FC的中點(diǎn)，M為線段CD上的一點(diǎn)，且CM=2．
（Ⅰ）證明：AF∥面BDG；
（Ⅱ）證明：面BGM⊥面BFC；
（Ⅲ）求三棱錐F-BMC的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先，連接AC交BD于O點(diǎn)，得到OG為△AFC的中位線，從而得到OG∥AF，命題得證；
（Ⅱ）先連接FM，證明BG⊥CF，然后，證明△FCM為正三角形，從而得到CF⊥面BGM，從而命題得證；
（Ⅲ）轉(zhuǎn)化成三棱錐F-BMG和三棱錐C-BMG的體積之和，它們的體積之和就是以FC為高，以BMG為底的三棱錐的體積，從而得到結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）連接AC交BD于O點(diǎn)，則O為AC的中點(diǎn)，連接OG
∵點(diǎn)G為CF中點(diǎn)，
∴OG為△AFC的中位線
∴OG∥AF，
∵AF?面BDG，OG?面BDG，
∴AF∥面BDG，
（Ⅱ）連接FM，
∵BF=CF=BC=2，G為CF的中點(diǎn)，
∴BG⊥CF∵CM=2，
∴DM=4∵EF∥AB，ABCD為矩形，
∴EF∥DM，
又∵EF=4，
∴EFMD為平行四邊形
∴FM=ED=2，
∴△FCM為正三角形，
∴MG⊥CF，
∵M(jìn)G∩BG=G，
∴CF⊥面BGM，
∵CF?面BFC，
∴面BGM⊥面BFC．
（Ⅲ）VF-BMC=VF-BMG+VC-BMG=

1

3

×SBMG×FC=

1

3

×SBMG×2
∵GM=BG=

3

，BM=2

2

∴SBMG=

1

2

×2

2

×1=

2

∴VF-BMC=

2

3

×SBMC=

2 2

3

，
∴三棱錐F-BMC的體積V=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了面面垂直、線面平行、空間幾何體的體積等知識(shí)，本題屬于中檔題．