Question

對于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù),使得對于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “類數(shù)列”．

   （Ⅰ）若，，，數(shù)列、是否為“類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)，若不是，請說明理由；

   （Ⅱ）證明：若數(shù)列是“類數(shù)列”，則數(shù)列也是“類數(shù)列”；

   （Ⅲ）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．求數(shù)列前2012項(xiàng)的和．并判斷是否為“類數(shù)列”，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241500279218331200_DA.files/image001.png">則有

        故數(shù)列是“類數(shù)列”，對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為    …………… 1分

        因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414580529684117/SYS201205241500279218331200_DA.files/image007.png">，則有，.

        故數(shù)列是“類數(shù)列”，對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為.   …………… 3分

        （Ⅱ）證明：若數(shù)列是“類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)，

        使得對于任意都成立，

        且有對于任意都成立，            

        因此對于任意都成立，

        故數(shù)列也是“類數(shù)列”．                        

        對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為．                           ……………6分

      

   （Ⅲ）因?yàn)? 則有，，    

    故數(shù)列前2012項(xiàng)的和

        +++

       ……………9分

    若數(shù)列是“類數(shù)列”， 則存在實(shí)常數(shù)

      使得對于任意都成立，

      且有對于任意都成立，

      因此對于任意都成立，

      而，且，

      則有對于任意都成立，可以得到

         ，

      當(dāng)時，，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.

      當(dāng) 時，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.

      因此當(dāng)且僅當(dāng)或時，數(shù)列是“類數(shù)列”.

      對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為或．               ………………… 13分

 

【解析】略