Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求•的最大值和最小值；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）橢圓中，a=2，b=1，c=，
∴，，
設(shè)p（x，y），則-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值-2．
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1．
（Ⅱ）∵直線x=0不滿足題設(shè)條件，
∴設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，消去y，得，
∵過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴=4k²-3＞0，
解得k＞，或．
分析：（Ⅰ）橢圓中，a=2，b=1，c=，，，設(shè)p（x，y），則-x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出•的最大值和最小值．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立，得，由=4k²-3＞0，能求出直線l的斜率k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)、韋達(dá)定理、根與系數(shù)的關(guān)系等基本知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．