Question

（2012•贛州模擬）函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（0）f′（1）＞0，設(shè)f′（x）=0的兩根為x1，x2，則|x1﹣x2|的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

A

【解析】

試題分析：先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得 ==++，由f′0）•f′（1）＞0，

解得﹣2＜＜﹣1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，即可求得|x1﹣x2|的取值范圍．

【解析】
由題意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的兩個(gè)根，

∴x1+x2=﹣，x1•x2=．∴|x1﹣x2|2 =﹣4x1x2 ，

∴=﹣4x1•x2 =．

∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，

∴==++．

∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=﹣（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，

即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，兩邊同除以a2得：+3 +2＜0，解得﹣2＜＜﹣1．

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)=﹣時(shí)，有最小值為 ，

當(dāng)趨于﹣1時(shí)， 趨于 ，故 ∈，

故|x1﹣x2|∈，

故選A．