Question

14．設(shè)F為拋物線y²=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=（　　）

• A． 10
• B． 6
• C． 12
• D． $7\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（$\frac{3}{4}$，0），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{4}$），與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長(zhǎng)的公式，可以求出線段AB的長(zhǎng)度．

解答 解：根據(jù)拋物線y²=3x方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（$\frac{3}{4}$，0），
直線AB的斜率為k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{4}$），
將直線方程代入到拋物線方程中，得：$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{4}$）²=3x，
整理得：x²-$\frac{21}{2}$x+$\frac{9}{16}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=$\frac{21}{2}$，x₁•x₂=$\frac{9}{16}$，
所以弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{\frac{441}{4}-\frac{9}{4}}$=12．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題．本題運(yùn)用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對(duì)運(yùn)算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．