Question

2．f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x．
（Ⅰ）當(dāng)a＜1時(shí)，討論f（x）在0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)?x＞0，bx+1≥f（x）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-b≤$\frac{x-lnx+1}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{x-lnx+1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{（x-1）（（1-a）x-a）}{x}$，a＜1，
令$\frac{a}{1-a}$=1，得a=$\frac{1}{2}$，又令$\frac{a}{1-a}$=0，得a=0，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，f′（x）＜0?1＜x＜$\frac{a}{1-a}$，
此時(shí)，f（x）在（0，1）和（$\frac{a}{1-a}$，+∞）內(nèi)遞增，在（1，$\frac{a}{1-a}$）內(nèi)遞減，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{2x}$，故f（x）在（0，+∞）遞增，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，即$\frac{a}{1-a}$＜x＜1，
此時(shí)，f（x）在（0，$\frac{a}{1-a}$）和（1，+∞）遞增，在（$\frac{a}{1-a}$，1）遞減；
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，解得：x＞1，
此時(shí)f（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，在（0，1）內(nèi)遞減；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，bx+1≥f（x），即-b≤$\frac{x-lnx+1}{x}$，
又設(shè)g（x）=$\frac{x-lnx+1}{x}$，則g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（0，e²）內(nèi)遞減，在（e²，+∞）遞增，
g（x）_min=g（e²）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴?x＞0，bx+1≥f（x），即-b≤g（x）_min=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴b的取值范圍是b≥$\frac{1}{{e}^{2}}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．