Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．

(1)求a，b的值；

(2)證明：函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)；

(3)若對任意的t∈R，不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

 (1)解　因為f(x)是R上的奇函數(shù)，

故f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，  從而有f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

∴f(x)＝.   ∴a＝2，b＝1.

(2)證明　設x₁<x₂，

f(x₁)－f(x₂)＝－  ＝

＝.

∵x₁<x₂，則2x₂－2x₁>0，∴f(x₁)>f(x₂)．   故f(x)是R上的減函數(shù)．

(3)解　由(2)知f(x)在R上為減函數(shù)，又因為f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t²－2t)＋f(2t²－k)<0等價于f(t²－2t)<－f(2t²－k)＝f(－2t²＋k)．因為f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t²－2t>－2t²＋k.   即對一切t∈R有3t²－2t－k>0恒成立，

從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.